Le complémentaire d'un hyperplan dense

Soit K=R ou C un corps. Soit E un K-evn. Soit H un hyperplan dense de E. Alors E\H est connexe par arcs.

 

 

Démonstration :

I) Stratégie globale

Pour montrer que E\H est connexe par arcs, il suffit de démontrer qu'il existe un élément de E\H qui peut être relié à tout autre élément de E\H via un chemin continu interne à E\H.

II) Une relation d'équivalence sur E\H

Pour cela, on instaure une relation sur E\H : soient x et y appartenant à E\H, on dit que x et y sont continument connectés, ce que l'on note xRy, lorsqu'il existe un chemin continu interne à E\H reliant x à y. On remarque que cette relation est réflexive, transitive et symétrique. C'est donc une relation d'équivalence, dont les classes d'équivalence sont les composantes connexes de E\H.

Lemme :

Soit K une composante connexe de E\H et soit (x_n) une suite de K convergeant dans E\H. On note x sa limite. On note Il existe une suite (C_n) d'applications continues de [0,1] dans E, à valeurs dans E\H, telles que : pour tout entier n, C_n(0)=x_n et C_n(1)=x_(n+1).

Supposons qu'il existe un k>0 tel que ces applications soient toutes k-lipschitziennes. Alors x appartient à K.

Démonstration du lemme :

On définit alors l'application C de [0,1] dans E, par : pour tout entier n, C_| [1-1/(2^n);1-1/(2^(n+1))[=(C_n)_[0,1[ et C(1)=x. Alors :

* C est k-lipshitzienne sur [0,1[ ;

* C(t) tend vers x quand t tend vers 1.

C est donc continue, à valeurs dans E\H, et on a C(0)=x_0 et C(1)=x. Donc on a x_0Rx, et donc x appartient à K, CQFD.

III) Application de la relation d'équivalence à la stratégie globale : escalier convergeant

H est dense dans E, donc H n'est pas un fermé de E. D'après la caractérisation séquentielle des fermés dans un K-evn, il existe donc une suite (x_n) de points de H convergeant dans E\H. Soit x sa limite. Soit y appartenant à E\H. Montrons que yRx. Soit a = y - x_0. H étant un sev de E, il est clair que a appartient à E\H.

On définit la suite (y_n) et la suite (z_n) :

 

* Pour tout entier naturel n, y_n = x_n + a/(2^n) ;

* Pour tout entier naturel n, z_n = x_(n+1) + a/(2^n).

On définit ensuite la suite (u_n) par :

* Pour tout entier naturel n, u_(2n) = y_n ;

* Pour tout entier naturel n, u_(2n+1) = y_n.

On définit voit alors que pour tout entier naturel n, le segment [u_n, u_(n+1)] est inclus dans E\H. En effet, pour tout entier naturel n, on a :

* [u_(2n), u_(2n+1)] = [y_n, z_n] = [x_n, x_(n+1)] + et/(2^n). De plus, [x_n, x_(n+1)] est inclus dans H et a/(2^n), donc [u_(2n), u_(2n+1)] = [x_n, x_(n+1)] + a/(2^n) appartient à E\H ;

* [u_(2n+1), u_(2n+2)] = [z_n, y_(n+1)] = x_(n+1) + [a/(2^n), a/(2 n+1))]. De plus, x_(n+1) appartient à H et le segment [a/(2^n), a/(2 n+1))] est inclus dans E\H, donc [u_(2n+1), u_(2n+2)] = x_(n+1) + [a/(2^n), a/(2 n+1))] est inclus dans E\H.

Ainsi, pour tout entier naturel n, [u_n, u_(n+1)] est inclus dans E\H et donc u_n est connecté à u_(n+1) (c'est-à-dire u_n R u_(n+1)) via une application 1-lipschitzienne. Cela implique aussi, par récurrence, que tous les u_n sont dans la même composante connexe K de E\H. Or, on voit que u_n tend vers x quand n tend vers + l'infini. En effet, la composante en a de chaque y_n et de chaque z_n se réduisant de façon géométrique décroissante et la composante en H, et plus précisément en la suite (x_n), tend vers x quand n tend vers + l'infini. D'après le Lemme, cela implique que x appartient à K et donc que y = y_0 = u_0 est connecté à x, ce qui achève la démonstration.